۱- مجموع زاویه‌های هر یک از چندضلعی‌های زیر را محاسبه کنید.
الف) هفت ضلعی منتظم
ب) دوازده ضلعی منتظم
مجموع زوایای داخلی یک چندضلعی $n$-ضلعی (منتظم یا غیرمنتظم) از فرمول زیر به دست می‌آید:
$ \text{مجموع زوایا} = (n-۲) \times ۱۸۰^\circ $
با استفاده از این فرمول، حاصل را برای هر کدام محاسبه می‌کنیم:
**الف) هفت‌ضلعی منتظم ($n=۷$):**
$ \text{مجموع زوایا} = (۷-۲) \times ۱۸۰^\circ = ۵ \times ۱۸۰^\circ = ۹۰۰^\circ $
**ب) دوازده‌ضلعی منتظم ($n=۱۲$):**
$ \text{مجموع زوایا} = (۱۲-۲) \times ۱۸۰^\circ = ۱۰ \times ۱۸۰^\circ = ۱۸۰۰^\circ $
۲- به کمک جواب قسمت (ب) سؤال قبل، اندازۀ هر یک از زاویه‌های دوازده ضلعی منتظم را حساب کنید.
در یک چندضلعی منتظم، تمام زوایای داخلی با هم برابر هستند. برای پیدا کردن اندازه یک زاویه، کافی است مجموع کل زوایای داخلی را بر تعداد اضلاع (یا زوایا) تقسیم کنیم.
از سوال قبل می‌دانیم که مجموع زوایای داخلی یک دوازده‌ضلعی ($n=۱۲$) برابر با $۱۸۰۰^\circ$ است. بنابراین:
$ \text{اندازه هر زاویه} = \frac{\text{مجموع زوایا}}{n} = \frac{۱۸۰۰^\circ}{۱۲} = ۱۵۰^\circ $
اندازه هر یک از زاویه‌های یک دوازده‌ضلعی منتظم **$۱۵۰$ درجه** است.
۳- سطح روبه‌رو با دو نوع کاشی منتظم، کاشی کاری شده است. اندازۀ زاویه‌های هر دو نوع کاشی را محاسبه کنید.
شکل نشان‌دهنده یک کاشی‌کاری با استفاده از دو نوع چندضلعی منتظم است: **هشت‌ضلعی منتظم** (آبی) و **چهارضلعی منتظم یا مربع** (نارنجی).
اندازه زاویه داخلی هر چندضلعی منتظم $n$-ضلعی از فرمول $ \frac{(n-۲) \times ۱۸۰^\circ}{n} $ به دست می‌آید.
- **برای هشت‌ضلعی منتظم ($n=۸$):**
$ \text{اندازه هر زاویه} = \frac{(۸-۲) \times ۱۸۰^\circ}{۸} = \frac{۶ \times ۱۸۰^\circ}{۸} = \frac{۱۰۸۰^\circ}{۸} = ۱۳۵^\circ $
- **برای مربع ($n=۴$):**
$ \text{اندازه هر زاویه} = \frac{(۴-۲) \times ۱۸۰^\circ}{۴} = \frac{۲ \times ۱۸۰^\circ}{۴} = \frac{۳۶۰^\circ}{۴} = ۹۰^\circ $
بنابراین، زاویه کاشی‌های هشت‌ضلعی **$۱۳۵$ درجه** و زاویه کاشی‌های مربعی **$۹۰$ درجه** است. (توجه کنید که در هر رأس، مجموع زوایای دو هشت‌ضلعی و یک مربع برابر با $ ۱۳۵^\circ + ۱۳۵^\circ + ۹۰^\circ = ۳۶۰^\circ $ می‌شود که شرط کاشی‌کاری را برآورده می‌کند.)
۴- کاشی‌هایی به شکل چندضلعی‌های منتظم داریم و می‌خواهیم سطحی را فقط با یک نوع از آنها کاشی‌کاری کنیم. شکل‌های زیر نشان می‌دهد که با سه ضلعی و چهارضلعی منتظم (یعنی مثلث متساوی‌الاضلاع و مربع) می‌توان کاشی‌کاری کرد.
یک نوع کاشی منتظم دیگر پیدا کنید که با آن بتوان کاشی کاری کرد.
برای اینکه بتوان یک سطح را با یک نوع کاشی منتظم پوشاند (کاشی‌کاری منتظم)، باید اندازه زاویه داخلی آن چندضلعی، مقسوم‌علیه $۳۶۰^\circ$ باشد. یعنی باید بتوان تعدادی کاشی را دور یک نقطه کنار هم گذاشت تا فضای آن نقطه کاملاً پر شود.
زوایای داخلی چندضلعی‌های داده شده عبارتند از:
- **مثلث متساوی‌الاضلاع:** $۶۰^\circ$ ($۳۶۰ \div ۶۰ = ۶$, پس امکان‌پذیر است.)
- **مربع:** $۹۰^\circ$ ($۳۶۰ \div ۹۰ = ۴$, پس امکان‌پذیر است.)
- **پنج‌ضلعی منتظم:** $۱۰۸^\circ$ ($۳۶۰ \div ۱۰۸ \approx ۳.۳۳$, پس امکان‌پذیر نیست.)
- **شش‌ضلعی منتظم:** $۱۲۰^\circ$ ($۳۶۰ \div ۱۲۰ = ۳$, **پس امکان‌پذیر است**.)
- **هفت‌ضلعی منتظم:** $ \approx ۱۲۸.۵^\circ $ (بر ۳۶۰ بخش‌پذیر نیست.)
- **هشت‌ضلعی منتظم:** $۱۳۵^\circ$ (بر ۳۶۰ بخش‌پذیر نیست.)
بنابراین، تنها چندضلعی منتظم دیگری که می‌توان با آن به تنهایی کاشی‌کاری کرد، **شش‌ضلعی منتظم** است.
